Simple Cubic System

Overview

The simple cubic (sc) structure is the simplest crystal lattice system. In this arrangement, atoms are located exactly at the eight corners of a cube. While it is fundamental to understanding crystallography, very few elements (only Polonium, $\text{Po}$) crystallize in this structure under normal conditions because of its low packing efficiency.

Geometrical Properties

The simple cubic system has equal edge lengths and all angles are right angles. The lattice parameters are defined as: $$ a = b = c $$ $$ \alpha = \beta = \gamma = 90^\circ $$

Atomic Packing Factor (APF)

The Atomic Packing Factor represents the fraction of volume in a crystal structure that is occupied by constituent particles.

For a simple cubic unit cell, the atoms strictly touch along the cube edges. Therefore, the relationship between the atomic radius ($r$) and the lattice constant ($a$) is: $$ a = 2r $$

Since there is exactly $1$ atom per unit cell (8 corners $\times \frac{1}{8}$ atom per corner), the total volume of atoms in the cell ($V_{atoms}$) is: $$ V_{atoms} = 1 \times \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) $$

The total volume of the cubic unit cell ($V_{cell}$) is simply: $$ V_{cell} = a^3 = (2r)^3 = 8r^3 $$

Thus, the Atomic Packing Factor is calculated as: $$ \text{APF} = \frac{V_{atoms}}{V_{cell}} = \frac{\frac{4}{3} \pi r^3}{8r^3} = \frac{\pi}{6} \approx 0.524 $$ This means that only about $52.4%$ of the unit cell volume is filled with atoms, leaving $47.6%$ as empty space.